Question

已知圓，若焦點在軸上的橢圓 過點，且其長軸長等于圓的直徑．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩條互相垂直的直線與，與圓交于、兩點，交橢圓于另一點，設直線的斜率為，求弦長；
（3）求面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）由題意可知，又因為橢圓過點，代入方程可求得，從而得到標準方程；（2）可設直線的方程為，根據點到直線的距離公式求出弦心距，再根據勾股定理可算出半弦長，從而得到弦長；（3）因為，故直線的方程為，和橢圓的方程聯立方程組，從而求出的長，則三角形的面積為，利用基本不等式求出最大值．
試題解析：
（1）由題意得，，所以橢圓C的方程為．
（2）設，由題意知直線的斜率存在，不妨設其為，則直線的方程為，
又圓O：，故點O到直線的距離，
所以．
（3）因為，故直線的方程為，
由消去，整理得，
故，所以，
設的面積為S，則，
所以，
當且僅當時取等號．