Question

如果f（x）在某個區(qū)間I內(nèi)滿足：對任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，則稱f（x）在I上為下凸函數(shù)；已知函數(shù)f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）證明：當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上為下凸函數(shù)；
（Ⅱ）若f'（x）為f（x）的導函數(shù)，且x∈[

1

2

，2]時，|f'（x）|＜1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設中的定義知，可先得出

1

2

[f(x1)+f(x2)]與f(

x1+x2

2

)的展開式，整理成最簡形式，根據(jù)題設條件判斷出

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)即可證明出結(jié)論；
（II）由題意f'（x）為f（x）的導函數(shù)，且x∈[

1

2

，2]時，|f'（x）|＜1可得出-(x+

1

x

)＜a＜x-

1

x

，由于在x∈[

1

2

，2]時，此不等式恒成立，故可構(gòu)造出兩個函數(shù)g(x)=-(x+

1

x

)，h(x)=x-

1

x

，將問題轉(zhuǎn)化為g_max（x）＜a＜h_min（x），根據(jù)兩函數(shù)的單調(diào)性求出g_max（x）與h_min（x），即可得到a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），則

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[

1

x1

-alnx1+

1

x2

-alnx2]=

x1+x2

2x1x2

-aln

x1x2

，…（2分）
f(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-aln

x1+x2

2

，…（3分）
∵x₁²+x₂²≥2x₁x₂，∴（x₁+x₂）²≥4x₁x₂，
又x1＞0，x2＞0，

x1+x2

2x1x2

≥

2

x1+x2

，…（5分）
又

x1+x2

2

≥

x1x2

，a＞0，
∴-aln

x1x2

≥aln

x1+x2

2

，
即

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)．
∴f（x）為（0，+∞）上的下凸函數(shù)…（7分）
答：f（x）為（0，+∞）上的下凸函數(shù)
（Ⅱ）先對所給的函數(shù)求導得到f′(x)=-

1

x2

-

a

x

，…（9分）
∵|f′(x)|＜1，即|

1

x2

+

a

x

|＜1，
∴-(x+

1

x

)＜a＜x-

1

x

，…（11分）
∵x∈[

1

2

，2]時，|f′(x)|＜1恒成立，
設g(x)=-(x+

1

x

)，h(x)=x-

1

x

則有g(shù)_max（x）＜a＜h_min（x），
又g(x)=-(x+

1

x

)在[

1

2

，1]上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)
∴g_max（x）=g（1）=-2…（12分），
而h(x)=x-

1

x

在[

1

2

，2]上為增函數(shù)，
∴hmin(x)=h(

1

2

)=-

3

2

…（13分）
∴a∈(-2，-

3

2

)…（14分）
答：實數(shù)a的取值范圍是（-2，-

3

2

）

點評：本題是一個新定義的題，考查了利用新定義證明，利用不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，理解新定義，將恒成立的問題進行正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，利用導數(shù)求最值是導數(shù)的重要運用，本題用到了轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)的思想，是綜合性較強的題，可能因為找不到問題的轉(zhuǎn)化方向而無法下手．