Question

【題目】命題p：關于x的不等式的解集為；命題q：函數為增函數．命題r：a滿足．

（1）若p∨q是真命題且p∧q是假題．求實數a的取值范圍．

（2）試判斷命題￢p是命題r成立的一個什么條件．

Answer 1

【答案】(1) ﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；(2) 充分不必要條件

【解析】試題分析：利用判別式求出為真時的取值范圍，根據指數函數的圖象與性質求出為真時的取值范圍，由是真命題且是假命題知一真一假，由此求出的范圍。

解不等式得出命題為真時的取值范圍，根據集合的包含關系判斷命題是命題成立的充分不必要條件。

解析：關于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集為，

∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，

即3a2+2a﹣1＞0，

解得a＜﹣1或a＞，

∴p為真時a＜﹣1或a＞；

又函數y=（2a2﹣a）x為增函數，

∴2a2﹣a＞1，

即2a2﹣a﹣1＞0，

解得a＜﹣或a＞1，

∴q為真時a＜﹣或a＞1；

（1）∵p∨q是真命題且p∧q是假命題，∴p、q一真一假，

∴當P假q真時，，即﹣1≤a＜﹣；

當p真q假時，，即＜a≤1；

∴p∨q是真命題且p∧q是假命題時，a的范圍是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；

（2）∵，

∴﹣1≤0，

即，

解得﹣1≤a＜2，

∴a∈[﹣1，2），

∵p為真時﹣1≤a≤，

由[﹣1，）是[﹣1，2）的真子集，

∴pr，且r≠＞p，

∴命題p是命題r成立的一個充分不必要條件．