Question

已知雙曲線的中心在原點，左右焦點分別為F₁，F₂，離心率為，且過點，
（1）求此雙曲線的標準方程；
（2）若直線系kx-y-3k+m=0（其中k為參數）所過的定點M恰在雙曲線上，求證：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意雙曲線的中心在原點，左右焦點分別為F₁，F₂，離心率為，且過點，可先根據離心率得出a，b的關系，設出雙曲線的方程，代入點，求出a，b的值，即可寫出雙曲線的標準方程；
（2）觀察直線，發現這是一個直線系，將其化為k（x-3）-y+m=0，求出直線系過的定點，又此點在雙曲線上，將其代入雙曲線的標準方程可以求得m的值，由于本題要求證明兩直線垂直，故可以求出兩直線的斜率，驗證其斜率的乘積為-1，從而證明出兩直線垂直的關系．
解答：解：（1）∵，∴，∴c²=2a²=a²+b²，∴a=b，
∴設雙曲線方程為x²-y²=a²（a＞0），∵雙曲線經過，∴16-10=a²即a²=6，
∴所求雙曲線方程為．----------（4分）
（2）∵直線系方程可化為k（x-3）-y+m=0
∴直線系過定點M（3，m）．------------（5分）
∵M（3，m）在雙曲線上，∴9-m²=6，，∴m²=3
又雙曲線焦點坐標為，
∴-----------（7分）
∴∴F₁M⊥F₂M----------（10分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查了求雙曲線的標準方程，圓錐曲線的點與兩焦點的連線互相垂直的證明，理解題意，選恰當的解決方法是解答本題的關鍵，本題考查了推理判斷能力及符號計算能力，綜合性強，是近幾年解析幾何考查覺了的題型