Question

如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構成．已知隧道總寬度AD為m，行車道總寬度BC為m，側墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m．
（1）建立直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程；
（2）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．

Answer 1

解：（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，
以1m為單位長度建立直角坐標系．
則E（-3，0），F（3，0），M（0，3），
由于所求圓的圓心在y軸上，所以設圓的方程為（x-0）²+（y-b）²=r²，
因為F，M在圓上，所以，
解得b=-3，r²=36．
所以圓的方程為x²+（y+3）²=36．
（2）設限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點P，則|CP|=h+0.5，
將P的橫坐標x=代入圓的方程，
得，
得y=2或y=-8（舍），
所以h=|CP|-0.5=（y+|DF|）-0.5=（2+2）-0.5=3.5（m）．
答：車輛通過隧道的限制高度是3.5米．
分析：（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長度建立直角坐標系．設圓的方程為（x-0）²+（y-b）²=r²，通過F，M在圓上，求出變量的值，得到圓的方程．
（2）設限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點P，則|CP|=h+0.5，將P的橫坐標x=代入圓的方程，求出y，然后求出限高．
點評：本題考查圓的方程的求法以及圓的方程的應用，考查計算能力．