Question

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當時，求的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)與圖象在上有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y＝2x－1. （Ⅱ）[].

【解析】【試題分析】(I)當時,求出和的值,利用點斜式求得切線方程.(II)令,化簡得,構造函數(shù),利用導數(shù)求得在區(qū)間上的極大值為,通過計算和可知在區(qū)間上的最小值為,由此可用最大值大于零,最小值不大于零列不等式組,求得的取值范圍.

【試題解析】

（Ⅰ）解　當時，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，

切點坐標為(1,1)，切線的斜率k＝f′(1)＝2，

則切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

（Ⅱ）解：由題意可得：2lnx－x2＋m=0，令h(x)＝2lnx－x2＋m，

則h′(x)＝－2x＝，

∵x∈，故h′(x)＝0時，x＝1.

當＜x＜1時，h′(x)＞0；當1＜x＜e時，h′(x)＜0.

故h(x)在x＝1處取得極大值h(1)＝m－1.

又＝m－2－，h(e)＝m＋2－e2，h(e)－＝4－e2＋＜0，

則h(e)＜，

∴h(x)在[]上的最小值為h(e)．

h(x)在[]上有兩個零點的條件是,

解得1＜m≤2＋

∴實數(shù)m的取值范圍是[].