Question

已知定點A（0，2），B（0，-2），C（2，0），動點P滿足：
（I）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；
（II）當m=2時，設點P（x，y）（y≥0），求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出動點坐標，求出向量的坐標，直接代入后整理得到動點P的軌跡方程，然后對m分類說明方程所表示的曲線；
（Ⅱ）當m=2時，得到點P的具體方程，求的取值范圍，其幾何意義就是軌跡上的動點與定點（8，0）連線的斜率范圍，用圓心到直線的距離等于半徑求解．
解答：解：（Ⅰ）設動點的坐標為P（x，y），則=（x，y-2），=（x，y+2），=（2-x，-y）
∵=m||²，
∴
∴x²+y²-4=m[（x-2）²+y²]
即（1-m）x²+（1-m）y²+4mx-4m-4=0，
若m=1，則方程為x=2，表示過點（2，0）且平行于y軸的直線；
若m≠1，則方程化為：，表示以（，0）為圓心，以 為半徑的圓；   
（Ⅱ）當m=2時，方程化為（x-4）²+y²=4；
設，則y=kx-8k，圓心（4，0）到直線y=kx-8k的距離d=時，
解得，又y≥0，所以點P（x，y）所在圖形為上半個圓（包括與x軸的兩個交點），
故直線與半圓相切時；
當直線過x軸上的兩個交點時知k=0；
因此的取值范圍是．
點評：本題考查了圓錐曲線的方程的求法，練習了向量在解析幾何中的應用，解答（Ⅱ）的關鍵在于對式子的幾何意義的理解，是中檔題．