Question

如圖甲，⊙O的直徑AB＝2，圓上兩點C、D在直徑AB的兩側，且∠CAB＝，∠DAB＝.沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直(如圖乙)，F為BC的中點，E為AO的中點．根據圖乙解答下列各題：

(1)求三棱錐C－BOD的體積；

(2)求證：CB⊥DE；

(3)在上是否存在一點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點G的位置；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）（2）見解析（3）G為的中點

【解析】(1)∵C為圓周上一點，且AB為直徑，∴∠C＝，

∵∠CAB＝，∴AC＝BC，

∵O為AB的中點，∴CO⊥AB，

∵AB＝2，∴CO＝1.

∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，

∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD.

∴CO就是點C到平面BOD的距離，

S△BOD＝S△ABD＝××1×＝，

∴VC－BOD＝S△BOD·CO＝××1＝.

(2)證明：在△AOD中，∵∠OAD＝，OA＝OD，

∴△AOD為正三角形，

又∵E為OA的中點，∴DE⊥AO，

∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，

∴DE⊥平面ABC.

又CB?平面ABC，∴CB⊥DE.

(3)存在滿足題意的點G，G為的中點．證明如下：

連接OG，OF，FG，

易知OG⊥BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴AD⊥BD，

∴OG∥AD，

∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，

∴OG∥平面ACD.

在△ABC中，O，F分別為AB，BC的中點，

∴OF∥AC，

∴OF∥平面ACD，

∵OG∩OF＝O，

∴平面OFG∥平面ACD.

又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD.