Question

（本小題滿分16分）

已知（，為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數

在內單調遞增或單調遞減；②如果存在區間，使函數在區間上的值域為，那么稱，為閉函數。請解答以下問題：

（1）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

（2）求證：函數（）為閉函數；

（3）若是閉函數，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數；

(2) 見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）因為函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，不符合題意，不成立。

（2）利用高次函數來分析，利用單調性的定義分析和證明。

（3）易知是上的增函數，符合條件①；設函數符合條件②的區間

為，利用對應相等得到結論。

解：（1）函數在區間上單調遞減，在上單調遞增；---2分

所以，函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數---4分

(2) 先證符合條件①：對于任意

且，有        

，       ，故是上的減函數．

又因為在上的值域是。                     ---------8分

    （3）易知是上的增函數，符合條件①；設函數符合條件②的區間

為，則；故是的兩個不等根，即方程組為：

    有兩個不等非負實根；         - -- --- ------11分

    設為方程的二根，則  ，

    解得： 的取值范圍．            --- --- ---16分

考點：本題主要是考查新定義的理解和運用，確定是否為閉函數。

點評：解決該試題的關鍵是理解概念，運用函數的單調性和函數的某個區間，是否滿足定義域和值域相同得到結論。