Question

在某個旅游業為主的地區，每年各個月份從事旅游服務工作的人數會發生周期性的變化．現假設該地區每年各個月份從事旅游服務工作的人數f（n）可近似地用函數f（n）=100•（Acos（ωn+2）+k）來刻畫．其中：正整數n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1時表示1月份；A和k是正整數；ω＞0．統計發現，該地區每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規律：
①各年相同的月份，該地區從事旅游服務工作的人數基本相同；
②該地區從事旅游服務工作的人數最多的8月份和最少的2月份相差約400人；
③2月份該地區從事旅游服務工作的人數約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多．
（1）試根據已知信息，確定一個符合條件的f（n）的表達式；
（2）一般地，當該地區從事旅游服務工作的人數超過400人時，該地區也進入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪幾個月是該地區的旅游“旺季”？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據三條規律，知該函數為周期為12的周期函數，進而求得ω，利用規律②可求得函數的最大值和最小值，則可求得三角函數解析式中的振幅A；同時根據n=2時，f（2）的值求得k，則函數的解析式可得．
（2）利用余弦函數的性質根據題意求得cos（

π

6

n+2）的范圍進而求得n的范圍，根據n∈[1，12]，n∈N^*，進而求得n的值．

解答：解：（1）根據三條規律，可知該函數為周期函數，且周期為12．
由此可得，T=

2π

ω

=12?ω=

π

6

；
由規律②可知，f（n）_max=f（8）=100A+100k，f（n）_min
=f（2）=-100A+100kf（8）-f（2）=200A=400?A=2；
又當n=2時，f(2)=200•cos(

π

6

•2+2)+100k=100，
所以，k≈2.99，由條件k是正整數，故取k=3．
綜上可得，f(n)=200cos(

π

6

n+2)+300符合條件．
（2）由條件，200cos(

π

6

n+2)+300＞400，
可得cos(

π

6

n+2)＞

1

2

?2kπ-

π

3

＜

π

6

n+2＜2kπ+

π

3

，k∈Z?

6

π

(2kπ-

π

3

-2)＜n＜

6

π

(2kπ+

π

3

-2)，
k∈Z?12k-2-

12

π

＜n＜12k+2-

12

π

，k∈Z．
因為n∈[1，12]，n∈N^*，所以當k=1時，6.18＜n＜10.18，
故n=7，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區的旅游“旺季”．

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型的問題．解題的技巧是從問題中發現周期變化的規律，并將所發現的規律抽象為恰當的三角函數模型．