Question

已知函數．
（I）若f（x）為定義域上的單調函數，求實數m的取值范圍；
（II）當m=1，且1≥a＞b≥0時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）整理函數求出函數的定義域，對函數求導，根據定義域得到函數的導函數小于0不能恒成立，所以只能整理導函數大于0恒成立，分離參數得到結論．
（II）當m=1時，構造新函數g（x），對新函數求導，得到新函數在[0，1]上遞增，利用遞增函數的定義，寫出遞增所滿足的條件，在構造新函數h（x），同理得到函數在[0，1]上遞減，得到遞減的條件，得到結論．
解答：解：（I），
∴．
對，，故不存在實數m，
使對恒成立，
由對恒成立得，
m≥對恒成立
而＜0，故m≥0
經檢驗，當m≥0時，對恒成立
∴當m≥0時，f（x）為定義域上的單調遞增函數．
（II）證明：當m=1時，令
，
在[0，1]上總有g′（x）≥0，
即g（x）在[0，1]上遞增
∴當1≥a＞b≥0時，g（a）＞g（b），
即．
令，
由（2）知它在[0，1]上遞減，
∴h（a）＜h（b）
即
綜上所述，當m=1，且1≥a＞b≥0時，＜．
點評：本題考查函數的單調性與導數的關系，考查根據需要構造新函數，考查遞增函數的定義，考查函數的恒成立問題，考查解決問題的能力和分析問題的能力，是一個中檔題．