Question

（2009•奉賢區(qū)一模）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2，D是B₁C₁的中點，求點C與平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析：法一：先建立空間直角坐標系，求出相關向量，利用向量垂直時數(shù)量積等于0求得法向量，結合點點C與平面A₁BD的距離即可求解．
法二：也可用等體積原理計算，即視點C與平面A₁BD的距離為三棱錐的高，結合等體積：

1

3

dS△A1DB=

1

3

AA1S△CDB求得點C與平面A₁BD的距離．

解答：解：法一：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設平面A₁BD的一個法向量

n

={x，y，z}
則

n • A1D =0 n • A1B =0

（2分）
求出平面A₁BD的一個法向量

n

={2，4，1}（4分）
然后用點到平面的距離公式d=|

n • CB

| n || CB |

|=

4

21

21

（6）
法二：也可用等體積原理計算出：
cos∠A1DB=-

1

85

，sin∠A1DB=

84

85

（2分）
S△A1DB=

1

2

×

5

2

×

17

2

×

84

85

=

21

4

（4分）

1

3

dS△A1DB=

1

3

AA1S△CDB=

1

3

，⇒d=

1

S△ADB

=

4 21

21

（6分）
∴點C與平面A₁BD的距離：

4 21

21

．

點評：本題考查點、線、面間的距離計算，正確分析題目的條件，找出幾何體中的直線與平面之間的關系，即可獲得解題思路．利用圖形建立適當?shù)目臻g直角坐標系是本題的關鍵．