Question

已知F₁、F₂是雙曲線4x²y²=1的左、右焦點,點P是曲線C上任意一點,且||+||=4.

(1)求曲線C的方程;

(2)過F₂作一直線l交曲線C于A、B兩點,若 2=+,求△MF₂O面積最大時直線l的方程.

Answer 1

解:(1)雙曲線4x²y²=1的左、右焦點分別是F₁(-1,0)、F₂(1,0).

由||+||=4＞2得曲線C是以F₁、F₂為焦點、長軸長為4的橢圓.

∴2c=2,2a=4.∴c=1,a=2,b=.

∴曲線C的方程為=1.

(2)由2=+可知點M是線段AB的中點,設其坐標為(x₀,y₀).

①若直線l的斜率不存在,則直線l的方程是x=1,此時,點M與F₂重合,不能構成三角形.②若直線的斜率存在,設為k,且k≠0,則直線l的方程是y=k(x-1).

聯立方程組得

將(i)代入(ii),整理得(3+4k²)x²-8k²x+4(k²-3)=0.

設A(x₁,y₁),B（x₂,y₂）,由韋達定理可得x₁+x₂=,

∴x₀=(x₁+x₂)=.

又∵M在直線l上,∴y₀=k(x₀-1)=k(-1)=.

∴=×|OF₂|×|y₀|=×1×=.

∵+4|k|≥2|k|=43(當且僅當=4|k|,即k=±時,等號成立).

∴₂≤=.

此時直線方程為y=(x-1)或y=-(x-1),即x-2y-=0或x+2y-=0.