Question

    如上圖，矩形ABCD中，|AB|=1，|BC|=a,PA⊥面ABCD且|PA|=1.

    (1)BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；

    (2)若BC邊上存在唯一的點Q使得PQ⊥QD,指出點Q的位置，并求出此時AD與平面PDQ所成的角的正弦值；

    (3)在(2)的條件下，求二面角Q—PD—A的正弦值.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)若BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD.矩形ABCD中，當a＜2時，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點Q使AQ⊥QD，故僅當a≥2時才存在點Q使PQ⊥QD；       (2)當a=2時，以AD為直徑的圓與BC相切于Q，此時Q是唯一的點使∠AQD為直角，且Q為BC的中點.作AH⊥PQ于H，可證∠ADH為AD與平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求得;     (3)作AG⊥PD于G，可證∠AGH為二面角Q—PD—A的平面角，且在Rt△PAD中可求得.