Question

如圖2-4-16,已知AB為⊙O的直徑,P為AB延長線上一點,PT切⊙O于T,過點B的切線交AT延長線于D,交PT于C.

圖2-4-16

(1)試判斷△DCT的形狀.

(2)△DCT有無可能成為正三角形?若無可能,說明為什么;若有可能,求出這時PB與PA應滿足的條件.

Answer 1

思路分析:要判斷△DCT的形狀,先考慮其內角的關系,注意到CT、CB為切線,則連結BT,可用弦切角定理推論得∠ATB =∠BTD =90°,從而可判斷△DCT的形狀.

解:(1)連結BT,∵CB、CT為⊙O的切線,?

∴∠CTB =CBT.?

又AB為⊙O的直徑,∴∠ATB =∠DTB =90°.?

∴∠DTC =90°-∠CTB,

∠D =90°-∠CBT.?

∴∠DTC =∠D,即CD =CT.?

∴△DCT為等腰三角形.?

(2)若△DCT為正三角形,則∠D =60°,?

由(1)知∠CBT=90°-∠D =30°,?

而CB切⊙O于B,?

∴∠A =∠CBT=30°.?

∴在Rt△ATB中, =sin30°=,?

且∠ABT=90°-30°=60°,∠ABT =∠CTB +∠P.?

而∠CTB =∠CBT =30°,?

∴∠P =30°.∴∠P =∠CTB.?

∴PB = TB.∴=,?

即當PB∶PA=1∶3時,△DCT為正三角形.