Question

（本小題共16分）
已知數列各項均不為0，其前項和為，且對任意都有 （為大于1的常數），記f（n）．
（1）求；
（2）試比較與的大小（）；
（3）求證：（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1） ≤[1-（）^2n-1] （n∈N^*）

Answer 1

（1）
（2），（）．
（3）略

解：（1） ∵，                     ①
∴．                                ②
②－①，得，即．
在①中令，可得．
∴是首項為，公比為的等比數列，．    ………　4分  
（2）．
f（n），                             
．
而，且，
∴，．
∴，（）．    …10分
（3） 由（2）知 ，
，（）．
∴當n時，．
，      
（當且僅當時取等號）．
另一方面，當n，時，


．
∵，∴．
∴,（當且僅當時取等號）．
∴．
（當且僅當時取等號）．
綜上所述，2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1） ≤[1-（）^2n-1] （n∈N^*）