Question

已知△OFQ的面積為S，且·＝1．

　　（1）若＜S＜2，求向量與的夾角q 的取值范圍；

　　（2）設(shè)＝c（c≥2），S＝c，若以O為中心，F為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)|｜取得最小值時(shí)，求此橢圓的方程．

 

Answer 1

答案：
解析：

解  （1）由已知，得 　　｜｜·｜｜sin（p －q ）＝S， 　　且｜｜·｜｜c(diǎn)osq ＝1，tanq ＝2S， 　　∴  ＜S＜2， 　　∴  1＜tanq ＜4，則  ＜q ＜arctan4． 　　（2）以O為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系． 　　設(shè)橢圓方程為（a＞0，b＞0），Q的坐標(biāo)為（，），則＝（－c，）． 　　∵  △OFG的面積為｜｜·｜｜＝c， 　　∴  ｜｜＝． 　　又由·＝（c，0）·（－c，±） 　　              ＝（－c）c 　　              ＝1， 　　得＝c＋， 　　｜｜ 　　        ＝（c≥2）． 　　當(dāng)且僅當(dāng)c＝2時(shí)，｜｜最小，此時(shí)Q的坐標(biāo)為（，）． 　　由此可得，解得， 　　故橢圓方程為． 　點(diǎn)評(píng)  有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題都可以用向量的數(shù)量積處理．