Question

【題目】已知點、分別是橢圓的上、下頂點，以為直徑作圓，直線與橢圓交于、兩點，與圓交于、兩點.

（1）若直線的傾斜角為，求（為坐標原點）的面積；

（2）若點、分別在直線、上，且，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出點的坐標，計算出點的橫坐標，利用三角形的面積公式可計算出的面積；

（2）設直線的方程為，與橢圓的方程聯立，求出點的坐標，進而可求點的坐標，由可知直線、的斜率互為相反數，利用斜率公式可得出關于的方程，解出即可.

（1）依題意，可知，，直線.

聯立，消去可得，故.

將點橫坐標代入直線的方程可得.

易知，故的面積；

（2）設直線，聯立，得，

設，依題意，.

因為，所以，故:，則點.

若，則，即，

解得，即直線的斜率為或.