Question

在平面直角坐標系中，曲線y=x²-x-6與坐標軸的交點都在圓C上
（1）求圓C的方程
（2）若圓C與直線x+y-1=0交于A，B兩點，求弦長|AB|

Answer 1

分析：（1）先求出曲線y=x²-x-6與坐標軸的交點的坐標，設所求的圓C的方程為 x²+y²+Dx+Ey+F=0，再把曲線與坐標軸的交點坐標代入圓C的方程，求得D、E、F的值，即可求得所求的圓C的方程0．
（2）利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離為d，可得弦長|AB|=2

r2-d2

的值．

解答：解：（1）在平面直角坐標系中，曲線y=x²-x-6與坐標軸的交點分別為（0，-6）、（-2，0）、（3，0）．
設所求的圓C的方程為 x²+y²+Dx+Ey+F=0，再把曲線y=x²-x-6與坐標軸的交點坐標代入圓C的方程，
可得

-2D+F+4=0 3D+F+9=0 -6E+F+36=0

，解得

D=-1 E=5 F=-6

，故所求的圓C的方程為 x²+y²-x+5y-6=0．
（2）圓C即 (x-

1

2

)2+(y+

5

2

)2=

25

2

，由于圓心到直線的距離為d=

| 1 2 - 5 2 -1|

2

=

3

2

，
故弦長|AB|=2

r2-d2

=2

25 2 - 9 2

=4

2

．

點評：本題主要考查用待定系數法求圓的標準方程，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于中檔題．