Question

如圖，矩形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直，是的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面⊥平面.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

試題分析：（1）要證線面平行，只須在平面內找到一條直線與這條直線平行，對本小題來說，連接交于點，由三角形的中位線定理可證得，問題得證；（2）要證面面垂直，只要在其中一個平面內找到一條直線與另一個平面垂直即可，由四邊形為正方形且為對角線的中點，所以有，故可考慮證明平面，故需要在平面內再找一條直線與垂直即可，由平面平面，交線為且，從而平面，可得，從而問題得證.
試題解析：（1）連接交于,連接

在三角形中，，分別為和的中點
所以∥．         2分
又平面，平面
所以∥平面         4分
（2）因為矩形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直
平面平面=，，
所以
又，所以         6分
又因為，是的中點，所以
又，所以         7分
由，所以平面⊥平面         8分.