Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)x＞0時(shí)，證明 ；

（2）當(dāng)x＞-1且x≠0時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)k的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題(1)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；（2）變形后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如果導(dǎo)函數(shù)研究困難，可以再對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)研究.

(1)令 ，則 ，

當(dāng)x＞0時(shí)，有 ，則 在 是增函數(shù),

從而，時(shí)，得證。 5分

（2）不等式可化為，

令，則

，

①當(dāng)x＞0時(shí)，有 ，令 ，則

故在上是減函數(shù)，即，

因此， 在上是減函數(shù)，從而，

所以，當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)x＞0，有；

②當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，由，

令 ，則，

故在上是增函數(shù)，即，

因此，在上是減函數(shù)。

從而，。

所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有。 12分

綜合①②，當(dāng)時(shí)，在且時(shí)，有。 13分