Question

（2012•佛山二模）已知直線l：2x+y+2=0與橢圓C：x²+

y2

4

=1交于A，B兩點，P為C上的點，則使△PAB的面積S為

1

2

的點P的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：設出P₁的坐標，表示出四邊形P₁AOB面積S利用兩角和公式整理后．利用三角函數的性質求得面積的最大值，進而求得△P₁AB的最大值，利用

2

-1＜

1

2

判斷出點P不可能在直線AB的下方，進而推斷出在直線AB的上方有兩個點P，得到正確的選項．

解答：解：設P₁（cosα，2sinα）（π＜α＜

3π

2

），即點P₁在第三象限的橢圓上，
考慮四邊形P₁AOB面積S，
可得：S=S_△OAP1+S_△OBP1=

1

2

×1×（-2sinα）+

1

2

×2×（-cosα）=-（sinα+cosα）=-

2

sin（α+

π

4

），
∴S_max=

2

，
∵S_△OAB=

1

2

×1×2=1為定值，
∴S_△P1AB的最大值為

2

-1＜

1

2

，
∴點P不可能在直線AB的下方，顯然在直線AB的上方有兩個點P．
故選C

點評：此題考查了直線與圓錐曲線的關系，坐標與圖形性質，正弦函數的定義域與值域，以及兩角和與差的正弦函數公式，同時鍛煉了學生分析問題和解決問題的能力．