Question

已知函數f（x）=x³+3ax²+b有極值，且極大值點與極小值點分別為A、B，又線段AB（不含端點）與函數f（x）圖象交于點（1，0）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=2x²+4x-k，已知對任意x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）|≤|g（x₂）|，求k的取值．

Answer 1

分析：（1）先求導，令f′（x）=3x²+6ax可得x₁=0，x₂=-2a，求出A，B的坐標，進一步求直線AB的方程，其經過（1，0），且f（1）=0，聯立可得a，b
（2）依題意可把問題轉化為|f（x）|_max≤|g（x₂）|，x₁，x₂∈[-1，1]

解答：解：（1）f′（x）=3x²+6ax，
又f′（x）=0則x₁=0，x₂=-2a，而f（0）=b，
f（-2a）=4a³+b，則點A（0，b）B（-2a，4a³+b）
則直線AB方程為：

y-b

x-0

=

4a3+b-b

-2a-0

①而且（1，0）滿足①式，
則b=2a²，又f（1）=0則1+3a+b=0．
∴

a=-1 b=2

或

a=- 1 2 b= 1 2

，
而交點（1，0）在線段AB上，則a=-1，b=2為所求
（2）|x³-3x²+2|≤|2x²+4x-k|，x∈[-1，1]，則|f（x）|_max=2，
故2x²+4x-k≥2或2x²+4x-k≤-2，∴{k|k≤-4或k≥8}為所求．

點評：本題考查了導數的應用：極值的求解，而在處理函數的恒成立問題時，常把其轉化為求函數在一閉區間上的最值問題，但要注意函數的在區間上“恒成立”與“存在x∈區間I”是兩個不同的問題，要注意區別．