Question

我市某大學組建了A、B、C、D、E五個不同的社團組織，為培養學生的興趣愛好，要求每個學生必須參加且只能參加一個社團，假定某寢室的甲、乙、丙三名學生對這五個社團的選擇是等可能的．   
（1）求甲、乙、丙三名學生中至少有兩人參加同一社團的概率；
（2）設隨機變量ξ為甲、乙、丙這三個學生參加A或B社團的人數，求ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（1）每個學生參加社團，有5種選法，由分步乘法原理即可求解，“甲、乙、丙三名學生中至少有兩名學生參加同一社團”的對立事件為“三名學生選擇三個不同社團”，利用對立事件的概率關系求解．
（2）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，利用古典概型分別求概率，列出分布列求期望即可．

解答：解：（1）甲、乙、丙三名學生每人選擇五個社團的方法數是5種，故共有5×5×5=125（種）．
三名學生選擇三門不同社團的概率為：

A 3 5

53

=

12

25

．
∴三名學生中至少有兩人選修同一社團的概率為：1-

12

25

=

13

25

．
（2）由題意：ξ=0，1，2，3
甲、乙、丙這三個學生每人參加A或B社團的概率都是

2

5

，所以ξ～B(3，

2

5

)…（10分）
P（ξ=0）=

C

0 3

×(

3

5

)3=

27

125

；P（ξ=1）=

C

1 3

×(

3

5

)2×

2

5

=

54

125

；
P（ξ=2）=

C

2 3

×(

2

5

)2×

3

5

=

36

125

；P（ξ=3）=

C

3 3

×(

2

5

)3=

8

125

；
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

數學期望Eξ=1×

54

125

+2×

36

125

+3×

8

125

=

6

5

…（12分）

點評：本題考查計數原理、古典概型、及離散型隨機變量的分布列和期望，難度不大．