Question

（本小題滿分12分）已知函數在點x=1處的切線與直線垂直，且f（-1）=0，求函數f(x)在區間[0，3]上的最小值.

Answer 1

f（x）在[0，3]最小值為ln2+5.

本題考查利用導數的性質求函數在閉區間上的最小值，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．
與直線3x+7y+2=0垂直的直線的斜率為
，令f^′(1)= ，得b=4，又f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，所以c=5，f′(x)= -2x+4，由f′（x）=0，得x= ，由此能求出以f（x）在[0，3]最小值．
解：與直線垂直的直線的斜率為，又f（－1）=ln（2－1）－1－4+c=0，所以c=5， ，由，當時，f′（x）≥ 0，f（x）單調遞增；當時，f′（x）≤ 0，f（x）單調遞減.
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值為ln2+5.