Question

已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB⊥平面BCD?AB⊥CD，又CD⊥BC?CD⊥平面ABC，再利用條件可得不論λ為何值，恒有EF∥CD?EF?平面BEF，就可得不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD?BE⊥平面ACD?BE⊥AC．故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．

解答：證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（3分）
又∵

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)，
∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF，
∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分）
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=

2

，AB=

2

tan60°=

6

，（11分）
∴AC=

AB2+BC2

=

7

，
由AB²=AE•AC得AE=

6

7

，∴λ=

AE

AC

=

6

7

，（13分）
故當λ=

6

7

時，平面BEF⊥平面ACD．（14分）

點評：本題考查了面面垂直的判定．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內找兩條相交直線和另一平面內的某一條直線垂直．