Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點是棱的中點，，.

（1）若，證明：平面平面；

（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進而證得結論.

(2) 過作交于,由為的中點,結合已知有平面.

則,可求得.建立坐標系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結果.

（1）證明：平面，平面，

,又四邊形為正方形，

.

又、平面，且，

平面..

中，，為的中點，

.

又、平面，，

平面.

平面，平面平面.

（2）解：過作交于，如圖

為的中點，，.

又平面，平面.

，.

所以,又、、兩兩互相垂直，以、、為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系.，，，

設平面的法向量，則

，即.

令，則，..

平面的一個法向量為

.

二面角的余弦值為.