Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在處的切線方程為，求的值；

（2）求函數的極值點；

（3）設，若當時，不等式恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，無極值點；當時，的極小值點是，無極大值點；（3）.

【解析】

（1）先求出函數的導函數，由切點處的導數等于切線的斜率，得到關于、的一個方程，再由處的切線方程為得出切點坐標，由切點在曲線上得到關于、的方程，聯立關于、的方程的兩個方程組即可.

（2）先求出導函數，判斷函數的單調性，然后根據極值的定義求出即可.

（3）化簡得由不等式恒成立，轉化為恒成立，只需，通過討論的范圍，求出即可.

（1）由得

由已知可得：即

（2）

所以：當，即時，在上為增函數，無極值點

當，即時，

則有：當時，，當時，，

在為減函數，在上為增函數，

所以，是極小值點，無極大值點；

綜上可知：當時，函數無極值點，

當時，函數的極小值點是，無極大值點

（3）

由題意知：當時，恒成立

又不等式等價于：，即

即 ①

①式等價于

由知，

令，則原不等式即為：

又在上為增函數

所以，原不等式等價于：， ②

又②式等價于，即：

設，

在上為增函數，在上為減函數，

又

當時，在上為增函數，在上為減函數

要使原不等式恒成立，須使，

當時，則在上為減函數，

要使原不等式恒成立，須使，

時，原不等式恒成立

綜上可知：的取值范圍是，的最小值為