Question

（2012•梅州二模）定義在R上的函數f（x）滿足：f（x+y）=f（x）f（y），且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值，并證明f（x）是定義域上的增函數：
（2）數列{a_n}滿足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）（n=1，2，3，…），求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）在 f（x+y）=f（x）f（y）中，令 x=1，y=0，可得f（0）=1，可以退出當x∈R時，f（x）＞0．設x₁＜x₂，計算 f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x）是定義域上的增函數．
（2）由數列{a_n}滿足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）=f[（aa_n）+（a-1）]，由f（x）是定義域R上的增函數，可得 a_n+1+1=a（a_n +1），故{a_n +1}是以a+1為首項，以a為公比的等比數列．求出{a_n +1}的通項公式可得{a_n }的通項公式，從而求得{a_n }的前n項和s_n．

解答：解：（1）在 f（x+y）=f（x）f（y）中，令 x=1，y=0，可得f（1）=f（1）f（0）．再由f（1）＞1，可得f（0）=1．
當x＜0時，f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）=1，由-x＞0 可得f（-x）＞1，f（x）=

1

f(-x)

∈（0，1）．
當x＞0時，同理可得f（x）＞0．  綜上可得，當x∈R時，f（x）＞0．
設x₁＜x₂，則 f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]．
由x₁-x₂＜0，x＜0時，0＜f（x）＜1，可得  f（x₁-x₂）-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）是定義域上的增函數．
（2）數列{a_n}滿足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）=f[（aa_n）+（a-1）]，
由f（x）是定義域R上的增函數，可得a_n+1=aa_n +a-1，即a_n+1+1=a（a_n +1），故{a_n +1}是以a+1為首項，以a為公比的等比數列．
故 a_n +1=（a+1）a^n-1，故 a_n =（a+1）a^n-1-1．
故{a_n }的前n項和s_n=（a+1）（1+a+a²+a³+…+a^n-1）-n=

na  ， a=1 (a+1)(1-an) 1-a   ，  a≠1

．

點評：本題主要考查函數的單調性的應用，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題．