Question

已知數列｛a｝滿足a=1,a=2a+1(n∈N)

（Ⅰ）求數列｛a｝的通項公式；

（Ⅱ）若數列{b_n}滿足4^k­1-14^k2-1…4^k-1=(a_n+1)^km(n∈N^*),證明:{b_n}是等差數列;

（Ⅲ）證明:(n∈N^*).

Answer 1

解析：（I）∵a_n+1=2 a_n+1（n∈N）,

∴a_n+1+1=2(a_n+1),

∴| a_n+1| 是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列。

∴a_n+1=2ⁿ，

既a_n=2ⁿ－1(n∈N)。

（II）證法一：∵4^b1－14 ^b2－2…4 ^bn－1=(a+1)^bn，

∵4^k1+k2+…+kn   =2^nk,
∴2[(b₁+b₂+…+b_n)-n]=nb,                            ①
2[(b₁+b₂+…+b_n+1)-(n+1)]=(n+1)b_n+1                    ②

②-①,得2(b_n+1-1)=(n+1)b_n+1-nb,
即 (n-1)b_n+1-nb_n+2=0.                               ③
nb_n+2=(n+1)b_n+1+2=0.                                ④
④-③，得nb_n+2-2nb_n+1-nb_n=0,

即 b_n+2-2b_n+1+b=0,

∴b_n-2-b_n+1=b_n(n∈N^*),
∴{b_n}是等差數列.
證法二：同證法一，得
(n-1)b_n+1=nb_n+2=0
令n=1，得b₁=2.
設b₂=2+d(d∈R),，下面用數學歸納法證明 b_n=2+(n-1)d.
(1)當n=1,得b₁=2.
(2)假設當n=k(k≥2)時，b₁=2+(k-1)d,那么
b_k+1=

這就是說，當n=k+1時，等式也成立.
根據(1)和(2)，可知b_n=2(n-1)d對任何n∈N^*都成立.
∵b_n+1-b_n=d, ∴{b_n}是等差數列.
(3)證明：∵

∴

∵≥(),k=1,2,…,n,