Question

【題目】已知分別為橢圓C： 的左、右焦點，點 在橢圓上，且 軸，的周長為6．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）E,F是橢圓C上異于點的兩個動點，如果直線PE與直線PF的傾斜角互補，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）． （Ⅱ） ．

【解析】

（Ⅰ）根據 軸可得焦點的坐標；結合周長即可求得a的值，利用橢圓中a、b、c的關系求得橢圓的標準方程。

（Ⅱ）根據P點坐標，設出PE方程，聯立直線與橢圓的方程，消y后得到關于x的一元二次方程，設出E、F坐標，利用韋達定理及直線的斜率與的斜率互為相反數的關系，求得直線的斜率。

（Ⅰ）由題意， ，，

的周長為6

，

橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）由(Ⅰ)知 ，

設直線PE方程： ，聯立，消得

設 ， 點在橢圓上

，

又直線的斜率與的斜率互為相反數，在上式中以代，

，

即直線的斜率為定值，其值為 ．