Question

22、在直徑是AB的半圓上有兩點M，N，設AN與BM的交點是P．求證：AP•AN+BP•BM=AB²．

Answer 1

分析：作PE⊥AB于E，先證明P，E，B，N四點共圓，P，E，A，M四點共圓，得到兩對乘積式，后相加即可得到結論．

解答：證明：作PE⊥AB于E∵AB為直徑，
∴∠ANB=∠AMB=90°
∴P，E，B，N四點共圓，P，E，A，M四點共圓．
AE•AB=AP•AN（1）
BE•AB=BP•BM（2）
（1）+（2）得AB（AE+BE）=AP•AN+BP•BM
即AP•AN+BP•BM=AB²

點評：本題主要考查了與圓有關的比例線段，特別是證明四點共圓的方法，屬于基礎題．