Question

已知向量

a

=(cosθ，sinθ)，

b=

(cos2θ-1，sin2θ)，

c

=(cos2θ，sin2θ-

3

)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：

a

⊥

b

；
（2）設f(θ)=

a

•

c

，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的坐標公式，計算出向量

a

與

b

的數量，再通過三角函數公式化簡得這個數量積等于零，從而得到向量

a

與向量

b

互相垂直；
（2）根據向量數量積的坐標公式，先得出f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-

3

sinθ，再通過二倍角的三角函數公式進行化簡，得到f(θ)2cos(θ+

π

3

)，最后根據θ∈（0，π），可以得出函數f（θ）的值域．

解答：解：（1）根據數量積的坐標運算公式，得

a

•

b

=(cosθ，sinθ)•(-2sin2θ，2sinθcosθ)
=-2sin²θcosθ+2sin²θcosθ=0    
所以 

a

⊥

b

（2）根據數量積的坐標運算公式，得
f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-

3

sinθ
=cosθ-

3

sinθ=2cos(θ+

π

3

)
∴θ∈（0，π），
∴

π

3

＜θ+

π

3

＜

4π

3

，
∴f（θ）的值域為：[-2，1）．

點評：本題著重考查了平面向量的數量積和三角函數的綜合，屬于中檔題．準確運用向量數量積的公式和三角函數有關公式結合三角函數的圖象與性質，是解決本題的關鍵．