Question

【題目】已知圓C的方程為：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）求m的取值范圍；
（2）若圓C與直線3x+4y﹣6=0交于M、N兩點，且|MN|=2 ，求m的值；
（3）設直線x﹣y﹣1=0與圓C交于A、B兩點，是否存在實數m，使得以AB為直徑的圓過原點，若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，

由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，得m＜5，

∴當m＜5時，曲線C表示圓

（2）解：∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，

∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，

∴圓心C（1，2），半徑r= ，

∵圓心C（1，2）到直線3x+4y﹣6=0的距離d= =1，

又|MN|=2 ，由r2=d2+3，即5﹣m=1+3，

解得m=1

（3）解：假設存在實數m使得以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2+y1y2=0，

由 ，

得2x2﹣8x+5+m=0，

∴△=64﹣8（m+5）=24﹣8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，

故m＜3，x1+x2=4，x1x2= ，

∴y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1= ﹣4+1= ，

∴x1x2+y1y2= + =m+2=0，

∴m=﹣2＜3，

故存在實數m使得以AB為直徑的圓過原點，m=﹣2

【解析】（1）由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，由求出當m＜5時，曲線C表示圓；（2）由已知條件推導出圓心C（1，2），半徑r= ，由此利用點到直線的距離公式及弦長公式，結合已知條件能求出m=1；（3）假設存在實數m使得以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則x1x2+y1y2=0，由 ，得2x2﹣8x+5+m=0，由此能求出存在實數m使得以AB為直徑的圓過原點．