Question

如圖2-3-3所示，已知AB為半圓O的直徑，直線MN切半圓于點C，AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，BE交半圓于點F，AD=3 cm，BE=7 cm.

圖2-3-3

（1）求⊙O的半徑；

（2）求線段DE的長.

Answer 1

思路分析：（1）連結OC，證C為DE的中點.在解有關圓的切線問題時，常常需要作出過切點的半徑.對于（2）則連結AF，證四邊形ADEF為矩形，從而得到AD=EF，DE=AF，然后在Rt△ABF中運用勾股定理,求AF的長.

解：（1）連結OC.∵MN切半圓于點C，∴OC⊥MN.

∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴AD∥OC∥BE.

∵OA=OB，∴CD=CE.

∴OC=（AD+BE）=5 cm.

∴⊙O的半徑為5 cm.

（2）連結AF.∵AB為半圓O的直徑，

∴∠AFB=90°.∴∠AFE=90°.

又∠ADE=∠DEF=90°，∴四邊形ADEF為矩形.

∴DE=AF，AD=EF=3 cm.

在Rt△ABF中，BF=BE-EF=4 cm，AB=2OC=10 cm.

由勾股定理，得AF=，∴DE= cm.

    深化升華 在梯形當中，最常見的輔助線是高，通過作高，可以構造出直角三角形，然后在直角三角形中進行相關計算；當題目中涉及圓的切線問題時，常常需要作出過切點的半徑，通過它可以構建有用的垂直關系.