Question

設橢圓M：+=1（a＞b＞0）的離心率為，點A（0，a），B（-b，0），原點O到直線AB的距離為，P是橢圓的右頂點，直線l：x=my-n與橢圓M相交于C，D兩點，且⊥．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求證：直線l的橫截距n為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由e²===1-=，得a=b
由點A（0，a），B（-b，0）知直線AB的方程為+=1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原點O到直線AB的距離=b=，∴b=3，

∴b²=9，a²=16
從而橢圓M的方程為：+=1．
（Ⅱ）易知P（3，0），設C（x₁，y₁），（x₂，y₂），將x=my+n代入+=1化簡整理得
（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0
則y₁+y₂=，y₁y₂=．
而•=0?（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0即（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0
又x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn
∴（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，
整理得（m²+1）y₁y₂+m（n-3）（y₁+y₂）+（n-3）²=0
即（m²+1）×+m（n-3）×+（n-3）²=0
易知n≠3，∴16（m²+1）（n+3）-32m²n+（16m²+9）（n-3）=0
展開得25n+21=0?n=-
∴直線l的橫截距n為定值

分析：（Ⅰ）由e²===1-=，得a=b，由點A（0，a），B（-b，0）知直線AB的方程為+=1，再由點O到直線AB的距離=b=，知b=3，由此能夠得到橢圓M的方程．
（Ⅱ）P（3，0），設C（x₁，y₁），（x₂，y₂），將x=my+n代入+=1，得（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0，則y₁+y₂=，y₁y₂=．由•=0，知（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0，由x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn，知（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，由此能夠證明直線l的橫截距n為定值．
點評：本題考查橢圓方程的求法和直線l的橫截距n為定值的證明，解題時要注意橢圓性質的靈活運用和合理地進行等價轉化．