Question

已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為d，為其前n項和，且滿足,．數列滿足,， 為數列的前n項和．
（1）求數列的通項公式和數列的前n項和；
（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）．          ……9分
（3） 存在       

試題分析：(1)由可令n=1,n=2得到關于a₁與d的兩個方程，從而可解出a₁和d,得到a_n的通項公式.因為,所以顯然要采用裂項求和的方法求出其前n項和.
(2)因為本小題是關于n的不等式恒成立問題，應對n的奇偶進行討論.分別再對得到的結果求交集.
（3）解本小題的關鍵由，
若成等比數列，則，即．
從而得,據此得到m的范圍，找到m的值，進一步得到n的值.
解：（1）在中，令，，
得  即     ……1分
解得，，                ……2分
又時，滿足，
，    ……3分
．  ……4分
（2）①當為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   ……5分
，等號在時取得
此時需滿足                      ……6分
②當為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．    ……7分
是隨的增大而增大，時取得最小值．
此時需滿足．          ……8分
綜合①、②可得的取值范圍是．          ……9分
（3），
若成等比數列，則，……10分
即．                         
由，可得， ……12分
即，
．          ……13分     
又，且，所以，此時．
因此，當且僅當，時，數列中的成等比數列．    …14分
[另解] 因為，故，即，
．
點評：（1）由a_n與S_n的關系求通項要注意根據需要給n賦值，每賦一個值就可得到一個方程.
（2）有關n的不等式恒成立問題，要注意題目當中如果有要注意按n為奇偶進行討論.
（3）解小題的關鍵是利用成等比數列,建立n與m的等式關系，下一步難點在于對式子的變形處理上，要注意體會其方法.