Question

如圖，△ABC為一個等腰三角形形狀的空地，腰CA的長為3（百米），底AB的長為4（百米）．現決定在空地內筑一條筆直的小路EF（寬度不計），將該空地分成一個四邊形和一個三角形，設分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為S₁和S₂．
（1）若小路一端E為AC的中點，求此時小路的長度；
（2）求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知F不在BC上，根據余弦定理求出cosA的值，然后根據余弦定理求出EF的長即可；
（2）若E、F分別在AC和AB上，設AE=x，AF=y，然后利用三角形的面積公式求出S₂和S₁=S_三角形ABC-S₂=，再根據基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分別在AC和BC上，設CE=x，CF=y，同上根據基本不等式求出比值的最值即可．

解答：解：（1）因為：AE=CE=

3

2

  AE+4＞CE+3   所以F不在BC上，
AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF
所以AE=CE  AF=CB+BF  4-BF=BF+3  BF=

1

2

cosA=

AC2+AB2-BC2

2AC×AB

=

2

3

所以EF²=AE²+AF²-2AE×AF×cosA=

15

2

所以EF=

30

2

E為AC中點時，此時小路的長度為

30

2

（2）若E、F分別在AC和AB上，
sinA=

5

3

設AE=x，AF=y，
所以S₂=

1

2

xysinA=

5 xy

6

 
S₁=S_三角形ABC-S₂=2

5

-S₂
因為x+y=3-x+4-y+3
所以x+y=5

S1

S2

=

2 5 -S2

5 xy 6

≥

48

25

-1
xy≤(

x+y

2

)2 =

25

4

當且僅當x=y=

5

2

時取等號
所以

S1

S2

=

23

25

當且僅當x=y=

5

2

時取等號
最小值是

23

25

若E、F分別在AC和BC上，

c

sinC

=

a

sinA

   sinC=

4 5

9

設CE=x，CF=y
同上可得

S1

S2

≥

11

25

當且僅當x=y=

5

2

取等號
若E、F分別在AC和BC上，最小值是

11

25

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用，以及利用基本不等式求最值問題，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．