Question

設函數f（x）的定義域為M，若函數f（x）滿足條件[m，n]⊆M，使f（x）在[m，n]上的值域是[

m

2

，

n

2

]，則成f（x）為“半縮函數”，若函數f（x）=log₃（3^x+λ）為“半縮函數”，則λ的范圍是（　　）

• A、（0，1）
• B、（0，

  1

  4

  ）
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、（

  1

  4

  ，+∞）

Answer 1

考點：函數的值域,函數的定義域及其求法

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意先判斷f（x）=log₃（3^x+λ）在其定義域上是增函數，從而可得方程f（x）=

x

2

有兩個不同的根，代入解λ的范圍．

解答： 解：由復合函數的單調性可知，
f（x）=log₃（3^x+λ）在其定義域上是增函數，
若由函數f（x）=log₃（3^x+λ）為“半縮函數”可知，
方程f（x）=

x

2

有兩個不同的根，
即log₃（3^x+λ）=

x

2

有兩個不同的根，
即3^x+λ=3

x

2

有兩個不同的根，
則作函數λ=3

x

2

-3^x的圖象可得，
結合選項可得，
λ∈（0，

1

4

）；
故選B．

點評：本題考查了學生對新定義的理解與應用，同時考查了函數性質應用，屬于中檔題．