Question

如圖，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上一點A處有一個水聲監測點，另兩個監測點B，C分別在A的正東方20km和54km處．某時刻，監測點B收到發自靜止目標P的一個聲波，8s后監測點A，20s后監測點C相繼收到這一信號．在當時的氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5km/s．
（1）設A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；
（2）求靜止目標P到海防警戒線a的距離（結果精確到0.01km）．

Answer 1

【答案】分析：（1）選擇在兩個三角形中用余弦定理，利用cos∠PAB=cos∠PAC來建立等式解答；
（2）作PD⊥a，構造直角三角形，從而利用解直角三角形的知識解答．
解答：解：（1）依題意，有PA-PB=1.5×8=12（km）．PC-PB=1.5×20=30（km）
∴PB=（x-12）（km），
PC=30+（x-12）=（18+x）（km）．
在△PAB中，AB=20km=
同理，在△PAC中，
∵cos∠PAB=cos∠PAC，
∴
解之，得
（2）作PD⊥a，垂足為D
在Rt△PDA中，．
答：靜止目標P到海防警戒線a的距離約為17.71km
點評：本題以實際問題為載體，考查余弦定理的運用，解答的關鍵是合理選擇三角形，正確運用余弦定理解答．