Question

在△ABC中，已知A（-4，0），B（4，0），且sinA-sinB=

1

2

sinC，則C的軌跡方程是（　　）

• A．

  x2

  4

  +

  y2

  12

  =1
• B．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1(x＜-2)
• C．

  x2

  12

  -

  y2

  4

  =1
• D．

  x2

  12

  -

  y2

  4

  =1(y≠1)

Answer 1

分析：根據正弦定理，將sinA-sinB=

1

2

sinC化為a-b=

1

2

c，，判斷出點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的左支，根據數據求出其方程即可．

解答：解：∵sinA-sinB=

1

2

sinC，由正弦定理得a-b=

1

2

c，即|CB|-|CA|=4＜8=|AB|，由雙曲線的定義可知
∴點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的左支，且a=2，c=4，∴b²=c²-a²=12．
∴頂點C的軌跡方程為 

x2

4

-

y2

12

=1(x＜-2)．
故選B

點評：本題考查雙曲線的定義和標準方程，判斷點C的軌跡是以B、A為焦點的雙曲線一支，是解題的關鍵．易錯點是誤判為整個雙曲線．