Question

設a，b為互不相等的正整數，方程ax²+8x+b=0的兩個實根為x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|＜|x₂|＜1，則a+b的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由|x₁|＜|x₂|＜1，知，方程的兩根在區間（-1，1）內，
設f（x）=ax²+8x+b=0，此函數的圖象與x軸的兩個交點在區間（-1，1）內，如圖：

由圖可得，f（-1）＞0，f（1）＞0，且對稱軸在區間（-1，1）內．由此列條件求a+b的最小值．

解答：解：設f（x）=ax²+8x+b=0，
此函數的圖象與x軸的兩個交點在區間（-1，1）內
∴

f(-1)＞0 f(1)＞0 -1＜- 8 2a ＜1 4ab-64 4a ＜0

∴

a+b＞8 a＞4 ab＜16

∵a，b為互不相等的正整數，
∴a，b可能的取值有（7，2）（8，1）（9，1）（10，1）…（14，1）共8個
∴a+b的最小值是9．
故填9．

點評：本題屬于一元二次方程根的分布問題，通常用數形結合的方法解決．二次函數根的分布問題，一般考慮圖象與x軸
的交點問題，對稱軸位置問題，頂點位置問題等．