Question

已知函數f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若對任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求實數a的最小值．
（2）若a=

5

2

且關于x的方程f（x）=-

1

2

x2+b在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；
（3）設各項為正的數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*．求證：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），對任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，等價于f（x）在[1，+∞）上的最大值小于等于0，根據a的范圍分類討論，利用導數即可求得f（x）的最大值；
（2）表示出方程，分離出b，然后構造函數g（x）=lnx+

1

2

x2-

5

2

x+1（x＞0），利用導數可求出g（x）在[1，4]上的值域，作出g（x）的草圖，由圖象即可求得b的范圍；
（3）由（1）得a=1時f（x）≤0，即lnx≤x-1，則a_n+1=lna_n+a_n+2可化為a_n+1≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，即a_n+1+1≤2（a_n+1），所以

an+1+1

an+1

≤2，由此構造n-1個不等式累乘即可得到結論；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0），
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
f（x）在[1，+∞）上無最大值，不合題意；
當0＜

1

a

≤1即a≥1時，f′（x）≤0，f（x）在[1，+∞）上遞減，
所以f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=-a+1，
由f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，得-a+1≤0，解得a≥1；
當

1

a

＞1即0＜a＜1時，x∈[1，

1

a

）時f′（x）＞0，f（x）遞增，x∈（

1

a

，+∞）時f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以f(x)max=f(

1

a

)=-lna，則-lna≤0，解得a≥1，此時無解；
綜上，a≥1，所以實數a的最小值為1；
（2）f（x）=-

1

2

x2+b，即lnx+

1

2

x2-

5

2

x+1=b，
令g（x）=lnx+

1

2

x2-

5

2

x+1（x＞0），則g′（x）=

1

x

+x-

5

2

=

(x- 1 2 )(x-2)

x

，
當1≤x＜2時g′（x）＜0，g（x）遞減，當2＜x≤4時g′（x）＞0，g（x）遞增，
所以x=2時g（x）取得最小值為ln2-2，
又g（1）=-1，g（4）=ln4-1，所以g（x）的最大值為ln4-1，
作出g（x）在[1，4]上的草圖如下：

由于方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根，
根據圖象可知b的范圍為（ln2-2，-1]；
證明：（3）由（1）知，因為a_n+1=lna_n+a_n+2，
所以a_n+1≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，即a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以

a2+1

a1+1

×

a3+1

a2+1

×

a4+1

a3+1

×…×

an+1

an-1+1

≤2×2×2×…×2=2^n-1，即

an+1

a1+1

≤2n-1，
所以a_n+1≤2ⁿ，即an≤2n-1；

點評：本題考查利用導數求函數在閉區間上的最值、數列與不等式的綜合、函數恒成立等知識，解決（3）問的關鍵是借助（1）問結論恰當構造不等式．