【題目】如圖，在四棱錐
中，
，底面
為直角梯形，
，
，
，
為線段
上一點.
（I）若
，求證：
平面
；
（II）若
，
，異面直線
與
成
角，二面角
的余弦值為
，求的長及直線
與平面所成角的正弦值.
【答案】（I）證明見解析；（II）
，直線
與平面
所成角的正弦值為
.
【解析】
（I）過點
作
，交于點
，連接
，通過證明四邊形
為平行四邊形得出
，然后利用線面平行的判定定理可得出結論；
（II）證明出
平面，過點
作
交
于點
，并以點為坐標原點，
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系，設
，利用空間向量法結合二面角
的余弦值為
求出
的值，再利用空間向量法可求出直線與平面所成角的正弦值.
（I）過點作，交于點，連接，
，
，
，
，
，
，所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面
，
平面，
平面；
（II）
異面直線
與
成
角，即
，
，
，
平面，
，過點作交于點，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則
、
、
、
，
，
，
，
設平面
的法向量為
，則
，
取
，則
，
，則
，
同理可得平面的一個法向量為
，
由于二面角的余弦值為，
則
，解得
，
所以，
，易知平面的一個法向量為
，
設直線與平面所成角為
，則
，
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設盒子中裝有6個紅球，4個白球，2個黑球，且規定：取出一個紅球得
分，取出一個白球得
分，取出一個黑球得
分，其中，，都為正整數．
（1）當
，
，
時，從該盒子中依次任取（有放回，且每球取到的機會均等）2個球，記隨機變量
為取出此2球所得分數之和，求的分布列；
（2）當時，從該盒子中任取（每球取到的機會均等）1個球，記隨機變量
為取出此球所得分數，若
，
，求和．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在以
為頂點，母線長為
的圓錐中，底面圓
的直徑
長為2，
是圓所在平面內一點，且
是圓的切線，連接
交圓于點
，連接
，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若
是的中點，連接
，
，當二面角
的大小為
時，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，左、右焦點分別為
、
，拋物線
的焦點
恰好是該橢圓的一個頂點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知圓
的切線
（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于
、
兩點，那么以
為直徑的圓是否經過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨機抽取某中學甲、乙兩班各10名同學，測量他們的身高（單位：cm），獲得身高數據的莖葉圖如圖所示.
（1）試比較甲、乙兩班分別抽取的這10名同學身高的中位數大小；
（2）現從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學，求身高176cm的同學被抽到的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】心理學研究表明，人極易受情緒的影響，某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.
（1）在不受情緒的影響下，該選手每局獲勝的概率為
；但實際上，如果前一句獲勝的話，此選手該局獲勝的概率可提升到
；而如果前一局失利的話，此選手該局獲勝的概率則降為
，求該選手在前3局獲勝局數
的分布列及數學期望；
（2）假設選手的三局比賽結果互不影響，且三局比賽獲勝的概率為
，記
為銳角
的內角，求證：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：如果函數
在定義域內給定區間
上存在
，滿足
，則稱函數是上的“平均值函數”，
是它的一個均值點．例如y=| x |是
上的“平均值函數”，0就是它的均值點．給出以下命題：
①函數
是
上的“平均值函數”．
②若是上的“平均值函數”，則它的均值點x0≥
．
③若函數
是
上的“平均值函數”，則實數m的取值范圍是
．
④若
是區間[a.，b] （b>a.≥1）上的“平均值函數”，是它的一個均值點，則
．
其中的真命題有_________．（寫出所有真命題的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}滿足：a1＝
，an＋1＝
（n∈N*）．（其中e為自然對數的底數，e＝2.71828…）
（1）證明：an＋1>an（n∈N*）；
（2）設bn＝1－an，是否存在實數M>0，使得b1＋b2＋…＋bn≤M對任意n∈N*成立？若存在，求出M的一個值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某芯片公司為制定下一年的研發投入計劃，需了解年研發資金投入量
（單位：億元）對年銷售額
（單位：億元）的影響.該公司對歷史數據進行對比分析，建立了兩個函數模型:①
，②
，其中
均為常數，
為自然對數的底數．
現該公司收集了近12年的年研發資金投入量
和年銷售額
的數據，
，并對這些數據作了初步處理，得到了右側的散點圖及一些統計量的值．令
，經計算得如下數據：
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（1）設
和
的相關系數為
，
和
的相關系數為
，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；
（2）（i）根據（1的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程（系數精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額需達到90億元，預測下一年的研發資金投入量是多少億元？
附：①相關系數
，回歸直線
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
；
② 參考數據：
，
，
．
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