Question

（本小題滿分14分）

已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線上．

（１）求橢圓的離心率；

（２）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

【解析】解：

（1）有AN=-BN知M是AB的中點(diǎn)，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)哦分別為、，

由 {  得

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，的

則．∴　點(diǎn)的坐標(biāo)為．…4分

又∵　點(diǎn)在直線上，∴　，　

∴　

∴　　　　　∴　橢圓的離心率　　…………………7分

（2）由（１）知，由圖形的對稱性可知只需考慮一個焦點(diǎn)即可．

不妨設(shè)橢圓的一個焦點(diǎn)為設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，

則有　　，解得　…10分

由已知得　　　∴　　有，　∴　　．……１2分

又∴   ∴　所求的橢圓方程為．　……………１4分