Question

記函數f（x）的定義域為D，若存在x∈D，使f（x）=x成立，則稱以（x，y）為坐標的點是函數f（x）的圖象上的“穩定點”．
（1）若函數的圖象上有且只有兩個相異的“穩定點”，試求實數a的取值范圍；
（2）已知定義在實數集R上的奇函數f（x）存在有限個“穩定點”，求證：f（x）必有奇數個“穩定點”．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函數的圖象上的兩個“穩定點”，由定義可得，所以x₁，x₂是方程x²+（a-3）x+1=0（x≠-a）的兩相異實根且不等于-a，由此可得關于a的不等式組，解出即可；
（2）由f（x）為R上的奇函數可判斷原點（0，0）是函數f（x）的“穩定點”，只要再說明除原點外“穩定點”成對出現即可；
解答：解：（1）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函數的圖象上的兩個“穩定點”，
則，即有，，
∴x₁，x₂是方程x²+（a-3）x+1=0（x≠-a）的兩根，
∴方程x²+（a-3）x+1=0有兩個相異的實根且不等于-a，
∴，解得a＞5或a＜1且a，
∴a的取值范圍是（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞；
（2）∵f（x）是R上的奇函數，
∴f（0）=0，∴原點（0，0）是函數f（x）的“穩定點”，
若f（x）還有“穩定點”（x，y），
則由f（x）為奇函數，得f（-x）=-f（x）且f（x）=x，
∴f（-x）=-x，
這說明：（-x，-x）也是f（x）的“穩定點”．                     
綜上所述可知，f（x）圖象上的“穩定點”除原點外是成對出現的，而且原點也是其“穩定點”，
所以它的“穩定點”的個數為奇數．
點評：本題以新定義為切入點，主要考查了二次方程的根的個數問題、奇函數性質等知識的綜合應用，考查學生分析解決新問題的能力．