Question

已知y=f（x）是定義在R上的函數，對于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0，且當x≥0 時，f（x）=2x-x²．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）畫出函數y=f（x）的圖象，并指出f（x）的單調區間及在每個區間上的增減性；
（3）若函數f（x）在區間[-1，a-2]上單調遞增，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據當x≥0 時，f（x）=2x-x²．利用函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，可求x＜0時的解析式，從而可得y=f（x）的解析式；
（2）根據函數的解析式，分段作出函數的圖象，從而可得f（x）的單調區間
（3）利用函數的單調增區間，結合函數f（x）在區間[-1，a-2]上單調遞增，可建立不等式組，從而可確定a的取值范圍．

解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0，
∵當x≥0 時，f（x）=2x-x²．
∴f（-x）=-2x-x²，
又對于任意的x∈R，有f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-2x-x²
∴x＜0時，f（x）=2x+x²；----（2分）
∴f（x）的解析式為f(x)=

2x-x2(x≥0) 2x+x2(x＜0)

------（4分）
（2）f（x）的圖象如右圖：
f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是減函數，f（x）在[-1，1]上是增函數---（8分）
（3）由圖象可知，f（x）在[-1，1]上單調遞增，
要使f（x）在[-1，a-2]上單調遞增，只需

a-2＞-1 a-2≤1

∴1＜a≤3----（12分）

點評：本題重點考查函數的解析式，考查函數的單調性，考查函數單調性的運用，考查數形結合的數學思想，屬于中檔題