Question

（2008•湖北模擬）已知曲線C：y=x²（x＞0），過C上的點A₁（1，1）作曲線C的切線l₁交x軸于點B₁，再過B₁作y軸的平行線交曲線C于點A₂，再過A₂作曲線C的切線l₂交x軸于點B₂，再過B₂作y軸的平行線交曲線C于點A&₃，…，依次作下去，記點A_n的橫坐標為a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=（8-2n）a_n，設數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：0＜T_n≤4．

Answer 1

分析：（I）由y'=2x（x＞0）．知切線l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．所以Bn(

an

2

，  0)．依題意點A_n+1在直線x=

an

2

上，所以數列{a_n}是1為首項，

1

2

為公比的等比數列．由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由bn=

4-2n

2n-2

，知Tn=

2

2-1

+

0

20

+

-2

2

+

-4

23

+…+

4-2n

2n-2

．由錯位相減法能導出Tn=

4n

2n-1

=

n

2n-3

＞0，n≥2時，Tn-Tn-1=

n

2n-3

-

n-1

2n-4

=

2-n

2n-3

．由n≥2時，T_n≤T_n-1，知T_n≤T_n-1≤…≤T₂，由此能夠證明0＜T_n≤4．

解答：解（I）∵y'=2x（x＞0）．∴曲線C在點A_n（a_n，a_n²）處的切線l_n的斜率為k_n=2a_n．
∴切線l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
令y₀=0得   x=

an

2

，
∴Bn(

an

2

，  0)．
依題意點A_n+1在直線x=

an

2

上，
∴an+1=

an

2

  (n∈N*)又a₁=1．（4分）
∴數列{a_n}是1為首項，

1

2

為公比的等比數列．
∴an=

1

2n-1

．（5分）
（Ⅱ）由已知bn=

4-2n

2n-2

．
∴Tn=

2

2-1

+

0

20

+

-2

2

+

-4

23

+…+

4-2n

2n-2

．①

1

2

Tn=          

2

20

+

0

2

+

-2

22

+

-4

23

+…+

4-2n

2n-1

．②
①-②得

1

2

Tn=4+

-2

20

+

-2

21

+

-2

22

+

-2

23

+…+

-2

2n-2

-

4-2n

2n-1

=4-2(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

)-

4-2n

2n-1

=4-2•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-

4-2n

2n-1

=

2n

2n-1

．（9分）
∴Tn=

4n

2n-1

=

n

2n-3

＞0（10分）
又n≥2時，Tn-Tn-1=

n

2n-3

-

n-1

2n-4

=

2-n

2n-3

．
又當n≥2時，T_n≤T_n-1．
∴T_n≤T_n-1≤…≤T₂．
∴當n=2時，T₁=T₂=4．
∴（T_n）_max=T₂=4，∴T_n≤4．（13分）
綜上0＜T_n≤4．（14分）

點評：本題考查通項公式的求法和求證：0＜T_n≤4．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．