Question

已知函數f（x）=x|x-2a|，a∈R．
（1）當a=1時，解方程f（x）=0；
（2）當0＜a＜3時，求函數y=f（x）在區間[0，7]的最大值g（a）；
（3）若函數y=f（x）在區間（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m，n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，由x|x-2|=0即可求得方程f（x）=0的解；
（2）因為0＜a＜3，對稱軸x=a處于區間[0，7]的偏左部分，g（a）=f（7）=49-14a，由a²=7（7-2a），解得a=7（

2

-1），從而可得答案；
（3）當a=0時，f（x）=x|x|，可分析出f（x）在區間（m，n）既沒有最大值也沒有最小值；當a＞0時，由a²=x（x-2a）得x=（

2

+1）a，從而得0≤m＜a，2a＜n≤（

2

+1）a；當a＜0時，同理可得（

2

+1）a≤m＜2a，a＜n≤0．

解答：解：（1）當a=1時，x|x-2|=0，解得x=0或x=2；…（2分）
（2）當x＜2a時，f（x）=x（2a-x）=-（x-a）²+a²；
當x≥2a時，f（x）=x（x-2a）=（x-a）²-a²．
∵0＜a＜3，對稱軸x=a處于區間[0，7]的偏左部分，
由a²=7（7-2a），解得a=7（

2

-1）…（6分）
∴g（a）=

f(7)，0＜a＜7( 2 -1) a2，7( 2 -1)≤a＜3

，
即g（a）=

49-14a，0＜a＜7( 2 -1) a2，7( 2 -1)≤a＜3

…（10分）
（3）當a=0時，f（x）=x|x|，
在區間（m，n）既沒有最大值也沒有最小值，不符合題意．     …（12分）
當a＞0時，由a²=x（x-2a）得x=（

2

+1）a，
所以0≤m＜a，2a＜n≤（

2

+1）a；                    …（14分）
當a＜0時，由-a²=x（2a-x）得x=（

2

+1）a，
所以（

2

+1）a≤m＜2a，a＜n≤0．…（16分）

點評：本題考查帶絕對值的函數，突出考查分類討論思想與方程思想、化歸思想的綜合應用，考查抽象思維與運算能力，屬于難題．