Question

已知函數y=sinx+cosx，y=2

2

sinxcosx，則下列結論中，正確的序號是

③

．
①兩函數的圖象均關于點（-

π

4

，0）成中心對稱；
②兩函數的圖象均關于直線x=-

π

4

成軸對稱；
③兩函數在區間（-

π

4

，

π

4

）上都是單調增函數； 
④兩函數的最小正周期相同．

Answer 1

分析：先化簡函數，再利用中心對稱、軸對稱的判斷方法判斷，可得①②的正確性；利用三角函數的單調性與周期性，可知③④的周期性．

解答：解：由題意y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x
①x=-

π

4

時，

2

sin(x+

π

4

)=0，圖象關于點（-

π

4

，0）成中心對稱；x=-

π

4

時，

2

sin2x=-

2

，圖象不關于點（-

π

4

，0）成中心對稱，故①不正確；
②由①知，函數y=sinx+cosx的圖象不關于直線x=-

π

4

成軸對稱；y=2

2

sinxcosx的圖象均關于直線x=-

π

4

成軸對稱，故②不正確；
③x∈（-

π

4

，

π

4

）時，x+

π

4

∈(0，

π

2

)，函數y=

2

sin(x+

π

4

)單調遞增；x∈（-

π

4

，

π

4

）時，2x∈(-

π

2

，

π

2

)，函數y=2

2

sinxcosx在區間（-

π

4

，

π

4

）上都是單調增函數，故③正確；
④y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)的周期為2π，y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x的周期為π，故④不正確
故答案為③

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．